Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{- x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (e^{- x})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$e^{- x} (- x')$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $e^{- x} (- x')$ .

$- e^{- x} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - e^{- x} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- e^{- x} x' = 1$ .

$- e^{- x} x' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- e^{- x} x' = 1$ par $- e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- x} x' = 1$ par $- e^{- x}$ .

$\frac{- e^{- x} x'}{- e^{- x}} = \frac{1}{- e^{- x}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{- x} x'}{e^{- x}} = \frac{1}{- e^{- x}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} x'}{e^{- x}} = \frac{1}{- e^{- x}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{- e^{- x}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{1}{e^{- x}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{e^{- x}}$