Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{\sqrt{4 x + 3}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x + 3}$ comme ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}]$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}]$

Étape 4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}]$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{4}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ et $g (x) = 4 x + 3$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 3$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 9.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} {(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{4}$ et ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 10.3

Placez ${(4 x + 3)}^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 12

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 14

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 15

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} (4 + 0)$

Étape 16

Simplifiez les termes.

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Étape 16.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 4$

Étape 16.2

Associez $\frac{1}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$ et $4$ .

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4 {(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 16.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(4 x + 3)}^{\frac{3}{4}}}$