Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} (2 x - 3 \sqrt{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{4} 2 x - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.4

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.5

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.7.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$2 \frac{16 - 1}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.7.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$2 (\frac{15}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.8

Associez $2$ et $\frac{15}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.9

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{30}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.10

Annulez le facteur commun à $30$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15}{1} - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.10.2.4

Divisez $15$ par $1$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.11

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.12

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.13.1

Annulez le facteur commun.

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.13.2

Réécrivez l’expression.

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.14

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$15 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.15

Multipliez $2$ par $8$ .

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Étape 9.2.3.17

Multipliez $2$ par $1$ .

$15 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 9.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 - 3 \frac{16 - 2}{3}$

Étape 9.2.3.19

Soustrayez $2$ de $16$ .

$15 - 3 (\frac{14}{3})$

Étape 9.2.3.20

Associez $- 3$ et $\frac{14}{3}$ .

$15 + \frac{- 3 \cdot 14}{3}$

Étape 9.2.3.21

Multipliez $- 3$ par $14$ .

$15 + \frac{- 42}{3}$

Étape 9.2.3.22

Annulez le facteur commun à $- 42$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.22.1

Factorisez $3$ à partir de $- 42$ .

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3}$

Étape 9.2.3.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.22.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3 (1)}$

Étape 9.2.3.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$15 + \frac{3 \cdot - 14}{3 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$15 + \frac{- 14}{1}$

Étape 9.2.3.22.2.4

Divisez $- 14$ par $1$ .

$15 - 14$

Étape 9.2.3.23

Soustrayez $14$ de $15$ .

$1$

Étape 10