Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - 2) (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Développez $(x - 2) (3 x^{2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2} + 3) - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 6}{{(6 x + 4)}^{3}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 3.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 5

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 7

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Déplacez l’exposant $3$ de ${(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 9.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 9.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 9.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

Étape 9.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{3 + 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 11.1.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 11.1.4

Additionnez $3 + 0 + 0$ et $0$ .

$\frac{3 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 11.1.5

Additionnez $3 + 0$ et $0$ .

$\frac{3 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 11.1.6

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{3}{{(6 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 11.2.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{3}{{(6 + 0)}^{3}}$

Étape 11.2.3

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{3}{6^{3}}$

Étape 11.2.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{3}{216}$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $216$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{216}$

Étape 11.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{72}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{72}$

Forme décimale :

$0.013\overline{8}$