Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = - \frac{1}{x}$ . Alors $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , donc $x^{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - \frac{1}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Étape 2.1.3.5.2

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x^{- 2}$

Étape 2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

Étape 4

Évaluez $e^{u}$ sur $- \frac{1}{t}$ et sur $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Étape 5.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Étape 5.1.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Étape 5.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{t}$ approche de $0$ .

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

Étape 5.3

Évaluez la limite.

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Étape 5.3.1

Évaluez la limite de $e^{- 1}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$e^{- 0} - e^{- 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0} - e^{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - e^{- 1}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{e}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$1 - \frac{1}{e}$

Forme décimale :

$0.63212055 \dots$