Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{x^{x}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $x^{x^{x}}$ comme $e^{\ln (x^{x^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{x}})}]$

Étape 3.1.2

Développez $\ln (x^{x^{x}})$ en déplaçant $x^{x}$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{x} \ln (x)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{x} \ln (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{x} \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{x}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.1

Associez $x^{x}$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun à $x^{x}$ et $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.5.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x - 1}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.5.2.2.5

Divisez $x^{x - 1}$ par $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Étape 3.6

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.6.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}])$

Étape 3.6.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.9

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.10.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.10.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.10.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.10.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.10.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)))$

Étape 3.10.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))))$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Étape 3.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Étape 3.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Étape 3.11.4

Associez des termes.

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Étape 3.11.4.1

Multipliez $e^{x \ln (x)}$ par $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x \ln (x)}) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Étape 3.11.4.2

Multipliez $e^{x^{x} \ln (x)}$ par $e^{x \ln (x)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.2.1

Déplacez $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Étape 3.11.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

Étape 3.11.4.3

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)})$

Étape 3.11.4.4

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)})$

Étape 3.11.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} ({\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)})$

Étape 3.11.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{2} (x) e^{x \ln (x)})$

Étape 3.11.4.7

Multipliez $e^{x^{x} \ln (x)}$ par $e^{x \ln (x)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.7.1

Déplacez $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Étape 3.11.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$