Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{4} \sin (x) + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5}{4} \cdot \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{4} \cdot \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{4} \cdot \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{4} \cdot \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{5}{4} \cos (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{4} \cos (x) + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Additionnez $\frac{5}{4} \cos (x)$ et $0$ .

$\frac{5}{4} \cos (x)$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{5}{4}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 \cos (x)}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (x))$

Étape 2.3

Associez $\frac{5}{4}$ et $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (x)}{4}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{5 \cos (x)}{4} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 \cos (x) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (x) = 0$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (x) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.5

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.5.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.5.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.6

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{5 \cdot 1}{4}$

Étape 7.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 8

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot 1 + 1$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{4} + 1$

Étape 9.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 9.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 + 4}{4}$

Étape 9.2.2.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{9}{4}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $\frac{9}{4}$ .

$y = \frac{9}{4}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Étape 11.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{5 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Étape 11.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{- 5}{4}$

Étape 11.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{5}{4}$

Étape 11.3

Multipliez $- - \frac{5}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{5}{4})$

Étape 11.3.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$\frac{5}{4}$

Étape 12

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Étape 13.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot (- 1 \cdot 1) + 1$

Étape 13.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{4} \cdot - 1 + 1$

Étape 13.2.1.4

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.4.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5 \cdot - 1}{4} + 1$

Étape 13.2.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 5}{4} + 1$

Étape 13.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{5}{4} + 1$

Étape 13.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{5}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 13.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

Étape 13.2.2.3

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 13.2.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{1}{4}$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{5}{4} \cdot \sin (x) + 1$ .

$(\frac{π}{2}, \frac{9}{4})$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{1}{4})$ est un minimum local

Étape 15