Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} (1 + 3 x - x^{2}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{4} 1 + 3 x - x^{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{4} + 3 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{2} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$x]_{0}^{4} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $x$ sur $4$ et sur $0$ .

$(4) + 0 + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$4 + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4})$

Étape 9.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$4 + 0 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4

Simplifiez

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Étape 9.2.4.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$4 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$4 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.3.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$4 + 3 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 + 3 (8 - \frac{0}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$4 + 3 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 + 3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 + 3 (8 - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4 + 3 (8 - 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 + 3 (8 + 0) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.7

Additionnez $8$ et $0$ .

$4 + 3 \cdot 8 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.8

Multipliez $3$ par $8$ .

$4 + 24 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.9

Additionnez $4$ et $24$ .

$28 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.10

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.2.4.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 9.2.4.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.4.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 9.2.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$28 - (\frac{64}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 9.2.4.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$28 - (\frac{64}{3} - 0)$

Étape 9.2.4.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$28 - (\frac{64}{3} + 0)$

Étape 9.2.4.14

Additionnez $\frac{64}{3}$ et $0$ .

$28 - \frac{64}{3}$

Étape 9.2.4.15

Pour écrire $28$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$28 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3}$

Étape 9.2.4.16

Associez $28$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3}$

Étape 9.2.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{28 \cdot 3 - 64}{3}$

Étape 9.2.4.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.4.18.1

Multipliez $28$ par $3$ .

$\frac{84 - 64}{3}$

Étape 9.2.4.18.2

Soustrayez $64$ de $84$ .

$\frac{20}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{20}{3}$

Forme décimale :

$6.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$6 \frac{2}{3}$

Étape 11