Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + e^{x} - \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + e^{x} - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 x + e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 x + e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 x + e^{x} - - \sin (x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x + e^{x} + 1 \sin (x)$

Étape 1.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x + e^{x} + \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + e^{x} + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 + e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 + e^{x} + \cos (x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 + e^{x} + \cos (x)$ .

$2 + e^{x} + \cos (x)$