Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{| x |}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $| x |$ par $1$ .

$\frac{| x | - x \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 4

Associez $\frac{x}{| x |}$ et $x$ .

$\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{| x | - \frac{x^{1} x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{| x | - \frac{x^{1} x^{1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Pour écrire $| x |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez $| x | | x |$ .

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Étape 9.2.3.1.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + | x^{1} x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + | x^{1} x^{1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.3.2

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.3.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.2.4

Divisez $0$ par $| x |$ .

$\frac{0}{{| x |}^{2}}$

Étape 9.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{0}{x^{2}}$

Étape 9.4

Divisez $0$ par $x^{2}$ .

$0$