Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + x^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} + x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 5 x^{4}$

Étape 1.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$20 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$60 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$60 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$60 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + 24 x - 24$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $60 x^{2} + 24 x - 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$120 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Étape 4.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$120 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$120 x + 24 + 0$

Étape 4.4.2

Additionnez $120 x + 24$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x + 24$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $120 x + 24$ .

$120 x + 24$