Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{1}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{- 3}{x^{2}}$ et ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 1}{x}$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 3.4

Associez $3$ et $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Étape 3.6

Associez.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Étape 3.7.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Étape 3.8

Multipliez $3 {(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$