Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = (x^{2} - 3) (x^{3} - 2 x)$ , $(- 2, - 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = - 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 3$ et $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x] + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2 \cdot 1) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.2.8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x + 0)$

Étape 1.2.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (x^{3} - 2 x) (2 x)$

Étape 1.2.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3} - 2 x$ .

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + 2 \cdot (x^{3} - 2 x) x$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + (2 x^{3} + 2 (- 2 x)) x$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 2) + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (3 x^{2}) - 3 (3 x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (3 x^{2}) - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} \cdot 3 - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4}$ .

$3 \cdot x^{4} - 3 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + x^{2} \cdot - 2 - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} - 2 \cdot x^{2} - 3 \cdot - 2 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.5

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} - 2 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{1 + 3} + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.9

Additionnez $1$ et $3$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} + 2 (- 2 x) x$

Étape 1.3.6.10

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x \cdot x$

Étape 1.3.6.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 (x^{1} x)$

Étape 1.3.6.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 (x^{1} x^{1})$

Étape 1.3.6.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x^{1 + 1}$

Étape 1.3.6.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{4} - 11 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 4 x^{2}$

Étape 1.3.6.15

Additionnez $3 x^{4}$ et $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 11 x^{2} + 6 - 4 x^{2}$

Étape 1.3.6.16

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 11 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 6$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$5 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$5 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $5$ par $16$ .

$80 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Étape 1.5.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$80 - 15 \cdot 4 + 6$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $- 15$ par $4$ .

$80 - 60 + 6$

Étape 1.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Soustrayez $60$ de $80$ .

$20 + 6$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $20$ et $6$ .

$26$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $26$ et un point donné, tel que $(- 2, - 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = 26 \cdot (x - (- 2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $26 \cdot (x + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 4 = 0 + 0 + 26 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 4 = 26 x + 26 \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $26$ par $2$ .

$y + 4 = 26 x + 52$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = 26 x + 52 - 4$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $4$ de $52$ .

$y = 26 x + 48$

Étape 3