Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x - 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Étape 2.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{upper} = t - 3$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = t - 3$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $u^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{t - 3}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ sur $t - 3$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite.

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Étape 6.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Étape 6.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

Étape 6.1.3

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 6.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t - 3)}^{\frac{1}{2}}} + lim_{t \to \infty} 2$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez ${(t - 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{t - 3}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t - 3}} + lim_{t \to \infty} 2$

Étape 6.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\sqrt{t - 3}}$ approche de $0$ .

$- 2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} 2$

Étape 6.3

Évaluez la limite.

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Étape 6.3.1

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- 2 \cdot 0 + 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 2$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$