Calcul infinitésimal Exemples

${(2 y + 1)}^{3} - 24 x = - 3$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(2 y + 1)}^{3} - 24 x) = \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{d}{d x} [{(2 y)}^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [2^{3} y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (2^{2} y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (4 y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $12$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1 + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1^{3} - 24 x]$

Étape 2.2.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 y^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 y^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$24 y^{2} y' + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 y$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 2.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 2.7.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \cdot 1$

Étape 2.7.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24$

Étape 2.8

Additionnez $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ et $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24$

Étape 3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' = 24$

Étape 5.2

Factorisez $6 y'$ à partir de $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $6 y'$ à partir de $24 y^{2} y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 24 y y' + 6 y' = 24$

Étape 5.2.2

Factorisez $6 y'$ à partir de $24 y y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' = 24$

Étape 5.2.3

Factorisez $6 y'$ à partir de $6 y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Étape 5.2.4

Factorisez $6 y'$ à partir de $6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Étape 5.2.5

Factorisez $6 y'$ à partir de $6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y + 1) = 24$

Étape 5.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1) = 24$

Étape 5.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1^{2}) = 24$

Étape 5.3.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Étape 5.3.4

Réécrivez le polynôme.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 24$

Étape 5.3.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 y$ et $b = 1$ .

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ par $6 {(2 y + 1)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ par $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de ${(2 y + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun à $24$ et $6$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $24$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 ({(2 y + 1)}^{2})}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$