Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ est positif.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.5

Réorganisez les termes.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.7

Réécrivez $9 \sec^{2} (t)$ comme ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \tan (t) (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 \tan (t)}{2} (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2

Associez $3$ et $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \tan (t))}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{9 \tan (t)}{2}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{9 \tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{9 \tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{9 \tan (t) \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{2}{9 \tan (t) \sec (t)}$ par $1$ .

$\int \frac{2}{9 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.7

Multipliez $\frac{2}{9 \tan (t) \sec (t)}$ par $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 (3 \sec^{2} (t))}{9 \tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.8

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{9 \tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.9

Multipliez $2$ par $9$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{18 \tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.10

Annulez le facteur commun à $6$ et $18$ .

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Étape 2.2.10.1

Factorisez $6$ à partir de $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{18 \tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.10.2.1

Factorisez $6$ à partir de $18 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (3 \tan (t) \sec (t))} d t$

Étape 2.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (3 \tan (t) \sec (t))} d t$

Étape 2.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{3 \tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.11

Annulez le facteur commun à $\sec^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.11.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{3 \tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.11.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $3 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (3 \tan (t))} d t$

Étape 2.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (3 \tan (t))} d t$

Étape 2.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec (t)}{3 \tan (t)} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Étape 4.2

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{3} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Étape 4.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Étape 4.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t)}$ à $\csc (t)$ .

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

Étape 5

L’intégrale de $\csc (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arctan (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arctan (\frac{2 x}{3})) |) + C$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arctan (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arctan (\frac{2}{3} x)) |) + C$