Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} (\frac{x^{2}}{2} - x + 3) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{2}}{2} - x + 3 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{2}}{2} d x + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 x]_{1}^{4}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 x]_{1}^{4}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 x]_{1}^{4}$

Étape 9.3

Évaluez $3 x$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.6

Soustrayez $1$ de $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.7

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 9.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.7.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 21 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $21$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.10

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21}{2} - (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.10.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{21}{2} - (8 - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{21}{2} - (8 - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.12

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} - (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.13

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} - (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21}{2} - \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.15.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{21}{2} - \frac{16 - 1}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.15.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$\frac{21}{2} - \frac{15}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21 - 15}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.17

Soustrayez $15$ de $21$ .

$\frac{6}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.18

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 9.4.18.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.18.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.19

Multipliez $3$ par $4$ .

$3 + 12 - 3 \cdot 1$

Étape 9.4.20

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$3 + 12 - 3$

Étape 9.4.21

Soustrayez $3$ de $12$ .

$3 + 9$

Étape 9.4.22

Additionnez $3$ et $9$ .

$12$

Étape 10