Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arccos (\frac{1}{x})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arccos (\frac{1}{x}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arccos (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arccos (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2})$

Étape 3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Étape 3.2.3.3

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ et $x^{- 2}$ .

$\frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$

Étape 3.2.3.4

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}}$

Étape 3.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$