Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ et $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.6

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ à $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (t)$ comme $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Étape 6

Comme la dérivée de $- \cot (t)$ est $\csc^{2} (t)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (t)$ est $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Étape 7

Simplifiez

$- t - \cot (t) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$