Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \cdot f (\ln (x)) d x$

Étape 1

Multipliez $x$ par $f \ln (x)$ .

$\int x (f \ln (x)) d x$

Étape 2

Comme $f$ est constant par rapport à $x$ , placez $f$ en dehors de l’intégrale.

$f \int x (\ln (x)) d x$

Étape 3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x$ .

$f (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Étape 7.2

Réécrivez $f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ comme $f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$