Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{3}} d x$

Étape 1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3} d x$

Étape 3

Développez $(x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{3} + x^{2} - x) x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{3} + x^{2}) x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{3} x^{- 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{3 - 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.5

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\int x^{0} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 1 + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 + x^{2 - 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.8

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.9

Factorisez le signe négatif.

$\int 1 + x^{- 1} - (x \cdot x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - (x^{1} x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 + x^{- 1} - x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.12

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Étape 3.13

Multipliez $x^{- 3}$ par $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Étape 3.14

Remettez dans l’ordre $1$ et $x^{- 1}$ .

$\int x^{- 1} + 1 - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Étape 3.15

Déplacez $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + 1 + x^{- 3} d x$

Étape 3.16

Déplacez $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} + 1 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Étape 5

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + x + C$

Étape 10

Simplifiez

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$