Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{e^{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e^{x}}$ comme $e^{\frac{x}{2}}$ .

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 4.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1$

Étape 4.2.4

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$