Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{a}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Étape 2.4

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{a}{x}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.5

Associez les fractions.

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Étape 2.5.1

Associez $a$ et $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Associez $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ et $x^{- 2}$ .

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

Étape 2.7.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{a}{x}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $a x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

Étape 3.2.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Étape 3.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Étape 3.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

Étape 3.2.3.2.5

Divisez $a x$ par $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + a x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $a x$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

Étape 3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x a$ .

$- \frac{a}{x (x + a)}$