Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{6 x}$

Étape 1

Laissez $x = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x^{6 x})$

Étape 2

Développez $\ln (x^{6 x})$ en déplaçant $6 x$ hors du logarithme.

$\ln (f (x)) = 6 x \ln (x)$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (f (x))$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{x'}{x} = 6 x \ln (x)$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $6 x \ln (x)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [6 x \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{x'}{x} = 6 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x'}{x} = 6 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x'}{x} = 6 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 3.2.5.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\frac{x'}{x} = 6 (1 + \ln (x))$

Étape 3.2.6

Simplifiez

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Étape 3.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x'}{x} = 6 \cdot 1 + 6 \ln (x)$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{x'}{x} = 6 + 6 \ln (x)$

Étape 3.2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x'}{x} = 6 \ln (x) + 6$

Étape 4

Isolez $x'$ et remplacez la fonction d’origine pour $x$ du côté droit.

$x' = (6 \ln (x) + 6) x^{6 x}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Simplifiez $6 \ln (x)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$x' = (\ln (x^{6}) + 6) x^{6 x}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x' = \ln (x^{6}) x^{6 x} + 6 x^{6 x}$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{6}) x^{6 x} + 6 x^{6 x}$ .

$x' = x^{6 x} \ln (x^{6}) + 6 x^{6 x}$