Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{16 - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{16 - 12 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.3

Soustrayez $12$ de $16$ .

$\sqrt{\frac{4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 16 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.6

Multipliez $2$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Étape 12.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1}}$

Étape 12.8

Soustrayez $4$ de $32$ .

$\sqrt{\frac{8}{28 - 1}}$

Étape 12.9

Soustrayez $1$ de $28$ .

$\sqrt{\frac{8}{27}}$

Étape 12.10

Réécrivez $\sqrt{\frac{8}{27}}$ comme $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$ .

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$

Étape 12.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.11.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 12.11.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{27}}$

Étape 12.11.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{27}}$

Étape 12.11.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{27}}$

Étape 12.12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.12.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 12.12.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{9 (3)}}$

Étape 12.12.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Étape 12.12.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 12.13

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 12.14

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.14.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 12.14.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 12.14.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 12.14.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 12.14.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 12.14.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 12.14.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 12.14.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.14.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.14.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.14.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.14.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.14.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Étape 12.14.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Étape 12.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.15.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3 \cdot 3}$

Étape 12.15.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Étape 12.16

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Forme décimale :

$0.54433105 \dots$