Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 3} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 3}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Étape 3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Étape 5.2

Multipliez $\int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ par $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{- 3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

Étape 9.2

Évaluez $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 9.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 9.3.3

Associez $e^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 9.3.4

Placez $e^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 9.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 9.3.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$

Étape 9.3.7

Pour écrire $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 9.3.8

Associez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ et $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 9.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \ln (e) + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 9.3.10

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 9.3.11

Associez $e^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{e^{2} \cdot 2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 9.3.12

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 \cdot e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 9.3.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 9.3.13.2

Divisez $e^{2}$ par $1$ .

$\frac{- \ln (e) + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}}) + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.4

Annulez le facteur commun de $e^{2}$ .

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Étape 10.1.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 e^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{2 e^{2}} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.4.2

Factorisez $e^{2}$ à partir de $2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.5

Associez $e^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{- 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.10.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{\frac{- 3}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 3 + e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.3

Multipliez $\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

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Étape 10.1.3.1

Multipliez $\frac{- 3 + e^{2}}{2}$ par $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{2 (2 e^{2})} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Étape 10.1.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{0}{2}$

Étape 10.1.5

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + 0$

Étape 10.2

Additionnez $\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$ et $0$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

Forme décimale :

$0.14849853 \dots$