Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x - 2})}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{x}{x - 2})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x}{x - 2})}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x}{x - 2})}$

Étape 3

Réécrivez $x \ln (\frac{x}{x - 2})$ comme $\frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x}{x - 2})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 2})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 2 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.5.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.5.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.5.2

Divisez $1$ par $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.5.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 4.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{x - 2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{x - 2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{x - 2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{x - 2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{x - 2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x}{x - 2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{x - 2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{x - 2}{x}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.7

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.13

Soustrayez $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.14

Soustrayez $2$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot - 1 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.16

Multipliez $\frac{x - 2}{x}$ par $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.17

Déplacez $2$ à gauche de $x - 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 \cdot (x - 2)}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18

Annulez le facteur commun à $x - 2$ et ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 4.3.18.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $2 (x - 2)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.18.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $x {(x - 2)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.19

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 4.3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{- x^{- 2}}}$

Étape 4.3.21

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x (x - 2)} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 4.5

Combinez les facteurs.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{x (x - 2)} x^{2}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{2}{x (x - 2)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x (x - 2)} x^{2}}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{2}{x (x - 2)}$ et $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{x (x - 2)}}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x - 2)}}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x - 2)}}$

Étape 4.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x - 2}}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 2}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{- 2}{x}}}$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}}$

Étape 7.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}}$

Étape 7.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}}$

Étape 7.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{2 \frac{1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}}$

Étape 7.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{2 \frac{1}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{2 \frac{1}{1 - 2 \cdot 0}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$e^{2 \frac{1}{1 + 0}}$

Étape 9.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{2 (\frac{1}{1})}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 (\frac{1}{1})}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 \cdot 1}$

Étape 9.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2}$