Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} {(1 + \frac{7}{x})}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + \frac{7}{x})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{7}{x})] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + \frac{7}{x}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + \frac{7}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + \frac{7}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{1 + \frac{7}{x}}$ et $x$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{7}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{x}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.6

Associez les fractions.

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Étape 5.6.1

Associez $7$ et $\frac{x}{1 + \frac{7}{x}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.6.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.8

Associez $\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}}$ et $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x)}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $x$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Placez $x^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 1)$

Étape 9

Multipliez $\ln (1 + \frac{7}{x})$ par $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}))$

Étape 10

Pour écrire $\ln (1 + \frac{7}{x})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

Étape 11

Associez $\ln (1 + \frac{7}{x})$ et $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Étape 13

Associez $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ et $\frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.1.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 14.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + 7))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7)}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3.1.3

Multipliez $\ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7$ .

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Étape 14.3.1.3.1

Remettez dans l’ordre $\ln (1 + \frac{7}{x})$ et $7$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + 7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3.1.3.2

Simplifiez $7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x})$ en déplaçant $7$ dans le logarithme.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \cdot - 7 + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3.3

Déplacez $- 7$ à gauche de $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ .

$\frac{- 7 \cdot e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.4

Associez des termes.

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Étape 14.4.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7}{x} x}$

Étape 14.4.2

Associez $\frac{7}{x}$ et $x$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

Étape 14.4.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 14.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

Étape 14.4.3.2

Divisez $7$ par $1$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + 7}$

Étape 14.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} x \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}) - 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}}{x + 7}$