Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} (2 x^{2} - x^{3}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{1} 2 x^{2} - x^{3} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.8

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Étape 8.2.3.11

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 8.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4}$

Étape 8.2.3.13

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4}$

Étape 8.2.3.14

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 8.2.3.14.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4}$

Étape 8.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.14.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1}$

Étape 8.2.3.14.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - 0$

Étape 8.2.3.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{4}{3} + 0$

Étape 8.2.3.16

Additionnez $\frac{4}{3}$ et $0$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{3}$

Forme décimale :

$1.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{3}$

Étape 10