Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} + e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} e^{x}$ et $g (x) = x^{2} + e^{x}$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Développez $(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{2} (e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x \cdot x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x^{1} x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{1 + 2} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.4

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.4.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} e^{x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x + x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.4.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x} (e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.6

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.6.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 (e^{x} e^{x}) x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x + x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.6.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x \cdot x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x^{1} x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{1 + 2} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{3} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.6.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} (e^{x} e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x + x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.1.6.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}$ .

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3} e^{x}$ de $2 x^{3} e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + 0 - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ et $0$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $e^{2 x} x^{2}$ et $- x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x} x^{2}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Soustrayez $e^{2 x} x^{2}$ de $e^{2 x} x^{2}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x + 0}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.2.5

Additionnez $x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ et $0$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4

Factorisez $x$ à partir de $e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{x} x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $x$ à partir de $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$