Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 1$ et $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \cdot 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7

Simplifiez

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Étape 5.2.1.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 (x \cdot x) + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.9

Développez $(- 2 x^{2} + 2) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} (x + 1) + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.10.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.10.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.10.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.10.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2$ .

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 0 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $4 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2.4

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 4 x + 2$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et ${(x + 1)}^{4}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $2 {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$