Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9 x}{\sqrt{3 x^{3} - 9}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x^{3} - 9}$ comme ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9 x}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x^{3} - 9)}^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x^{3} - 9}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x^{3} - 9}$

Étape 5.2

Multipliez ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x^{3} - 9}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 x^{3} - 9$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{3} - 9$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{3} - 9$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 x^{3} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 11.3

Placez ${(3 x^{3} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 11.4

Associez $\frac{1}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9]}{3 x^{3} - 9}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 13

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 15

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9])}{3 x^{3} - 9}$

Étape 16

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (9 x^{2} + 0)}{3 x^{3} - 9}$

Étape 17

Associez les fractions.

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Étape 17.1

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (9 x^{2})}{3 x^{3} - 9}$

Étape 17.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 17.3

Associez $- 9$ et $\frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 17.4

Associez $\frac{- 9 x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x \cdot x^{2}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 18

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 (x^{2} x)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 18.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 18.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 (x^{2} x^{1})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 18.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x^{2 + 1}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 18.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 19

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 20

Pour écrire ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 21

Associez ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 23

Multipliez ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.1

Déplacez ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 23.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 23.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 23.5

Divisez $2$ par $2$ .

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{1} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 24

Simplifiez ${(3 x^{3} - 9)}^{1} \cdot 2$ .

$9 \frac{\frac{(3 x^{3} - 9) \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 25

Déplacez $2$ à gauche de $3 x^{3} - 9$ .

$9 \frac{\frac{2 \cdot (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Étape 26

Réécrivez $\frac{\frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$ comme un produit.

$9 (\frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 x^{3} - 9})$

Étape 27

Multipliez $\frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{3 x^{3} - 9}$ .

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{3} - 9)}$

Étape 28

Élevez $3 x^{3} - 9$ à la puissance $1$ .

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 ({(3 x^{3} - 9)}^{1} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 29

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 30

Simplifiez l’expression.

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Étape 30.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 30.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 30.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 31

Associez $9$ et $\frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{9 (2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32

Simplifiez

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Étape 32.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (2 (3 x^{3}) + 2 \cdot - 9 - 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (2 (3 x^{3})) + 9 (2 \cdot - 9) + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 32.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 32.3.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{9 (6 x^{3}) + 9 (2 \cdot - 9) + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.3.1.2

Multipliez $6$ par $9$ .

$\frac{54 x^{3} + 9 (2 \cdot - 9) + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.3.1.3

Multipliez $9 (2 \cdot - 9)$ .

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Étape 32.3.1.3.1

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{54 x^{3} + 9 \cdot - 18 + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.3.1.3.2

Multipliez $9$ par $- 18$ .

$\frac{54 x^{3} - 162 + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.3.1.4

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$\frac{54 x^{3} - 162 - 81 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.3.2

Soustrayez $81 x^{3}$ de $54 x^{3}$ .

$\frac{- 27 x^{3} - 162}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.4

Factorisez $27$ à partir de $- 27 x^{3} - 162$ .

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Étape 32.4.1

Factorisez $27$ à partir de $- 27 x^{3}$ .

$\frac{27 (- x^{3}) - 162}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.4.2

Factorisez $27$ à partir de $- 162$ .

$\frac{27 (- x^{3}) + 27 (- 6)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.4.3

Factorisez $27$ à partir de $27 (- x^{3}) + 27 (- 6)$ .

$\frac{27 (- x^{3} - 6)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{27 (- (x^{3}) - 6)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.6

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{27 (- (x^{3}) - 1 (6))}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (6)$ .

$\frac{27 (- (x^{3} + 6))}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.8

Réécrivez $- (x^{3} + 6)$ comme $- 1 (x^{3} + 6)$ .

$\frac{27 (- 1 (x^{3} + 6))}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27 (x^{3} + 6)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$