Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 3 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 3 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \cos^{2} (t)$ comme ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $3 \cos (t)$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int d t$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$t + C$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\arcsin (\frac{x}{3}) + C$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\arcsin (\frac{1}{3} x) + C$