Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x^{- 3}$ à partir de $x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $x^{- 3}$ à partir de $x^{- 1}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{- 3}$ à partir de $- x^{- 2}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.3

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.4

Factorisez $x^{- 3}$ à partir de $x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x)$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.5

Factorisez $x^{- 3}$ à partir de $x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} x^{3}} d x$

Étape 1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2 + 3}} d x$

Étape 1.3.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{5}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{- 5} d x$

Étape 3

Développez $(x^{2} - x + 1) x^{- 5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} - x) x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{- 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 - 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $5$ de $2$ .

$\int x^{- 3} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Étape 3.5

Factorisez le signe négatif.

$\int x^{- 3} - (x \cdot x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{- 3} - (x^{1} x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- 3} - x^{1 - 5} + 1 x^{- 5} d x$

Étape 3.8

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + 1 x^{- 5} d x$

Étape 3.9

Multipliez $x^{- 5}$ par $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + x^{- 5} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- 3} d x + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Étape 8.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int x^{- 5} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Étape 10

Simplifiez

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$