Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ est positif.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.5

Réorganisez les termes.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.7

Réécrivez $9 \sec^{2} (t)$ comme ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{3 \sec (t)}$ par $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{6 \sec (t)} d t$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{6 \sec (t)} d t$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{3 (2 \sec (t))} d t$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 (2 \sec (t))} d t$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec^{2} (t)}{2 \sec (t)} d t$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $\sec^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \sec (t)} d t$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t)}{2} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1.27933953} \sec (t) d t$

Étape 4

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{1.27933953}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ sur $1.27933953$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Étape 6.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

$\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ est d’environ $6.8134355$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{| 1 |})}{2}$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{1})}{2}$

Étape 7.3

Divisez $\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ par $1$ .

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Forme décimale :

$0.95944823 \dots$

Étape 9