Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.1.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7

Évaluez $e^{u}$ sur $- t^{\frac{1}{2}}$ et sur $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Évaluez la limite.

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Étape 8.1.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

Étape 8.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Étape 8.2

Comme l’exposant $- t^{\frac{1}{2}}$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ approche de $0$ .

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Étape 8.3

Évaluez la limite.

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Étape 8.3.1

Évaluez la limite de $e^{- 1}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- 2 (0 - e^{- 1})$

Étape 8.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

Étape 8.3.2.2

Soustrayez $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{e})$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $- 2 (- \frac{1}{e})$ .

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Étape 8.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \frac{1}{e}$

Étape 8.3.2.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{e}$

Forme décimale :

$0.73575888 \dots$