Calcul infinitésimal Exemples

$y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Étape 1

Déterminez $y'$ .

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Étape 1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez.

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Étape 1.3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Étape 1.3.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 e^{2 x}$

Étape 2

Déterminez $y''$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 2.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Étape 3

Déterminez $y'''$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée.

$y''' = \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''' = 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y''' = 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y''' = 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y''' = 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.4

Supprimez les parenthèses.

$y''' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 4 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 3.8

Multipliez $8$ par $1$ .

$y''' = 8 e^{2 x}$

Étape 4

Déterminez $y''''$ .

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Étape 4.1

Définissez la dérivée.

$y'''' = \frac{d}{d x} [8 e^{2 x}]$

Étape 4.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''' = 8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y'''' = 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'''' = 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y'''' = 8 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.4

Supprimez les parenthèses.

$y'''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''' = 8 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 4.8

Multipliez $16$ par $1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x}$

Étape 5

Déterminez $y'''''$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée.

$y''''' = \frac{d}{d x} [16 e^{2 x}]$

Étape 5.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''' = 16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y''''' = 16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y''''' = 16 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y''''' = 16 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5.4

Supprimez les parenthèses.

$y''''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''' = 16 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.6

Multipliez $2$ par $16$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 5.8

Multipliez $32$ par $1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x}$

Étape 6

Déterminez $y''''''$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée.

$y'''''' = \frac{d}{d x} [32 e^{2 x}]$

Étape 6.2

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''' = 32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 6.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y'''''' = 32 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'''''' = 32 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y'''''' = 32 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6.4

Supprimez les parenthèses.

$y'''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''' = 32 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $32$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 6.8

Multipliez $64$ par $1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x}$

Étape 7

Déterminez $y'''''''$ .

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Étape 7.1

Définissez la dérivée.

$y''''''' = \frac{d}{d x} [64 e^{2 x}]$

Étape 7.2

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''''' = 64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 7.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y''''''' = 64 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y''''''' = 64 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y''''''' = 64 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7.4

Supprimez les parenthèses.

$y''''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''''' = 64 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.6

Multipliez $2$ par $64$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 7.8

Multipliez $128$ par $1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x}$

Étape 8

Déterminez $y''''''''$ .

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Étape 8.1

Définissez la dérivée.

$y'''''''' = \frac{d}{d x} [128 e^{2 x}]$

Étape 8.2

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $128 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''''' = 128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 8.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 8.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'''''''' = 128 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 8.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 8.4

Supprimez les parenthèses.

$y'''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''''' = 128 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.6

Multipliez $2$ par $128$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 8.8

Multipliez $256$ par $1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x}$

Étape 9

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$16 e^{2 x} + 256 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Étape 10

Additionnez $16 e^{2 x}$ et $256 e^{2 x}$ .

$272 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Étape 11

La solution donnée ne respecte pas l’équation différentielle donnée.

$y = e^{2 x}$ n’est pas une solution à $y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$