Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{\arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - lim_{h \to 0} \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $\arcsin (x)$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $\arcsin (x + h)$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\arcsin (x + 0) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\arcsin (x) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.4

Soustrayez $\arcsin (x)$ de $\arcsin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h) - \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h) - \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arcsin (x + h) - \arcsin (x)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \arcsin (h)$ et $g (h) = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $- \arcsin (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \arcsin (x)$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Étape 2.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - {(x + h)}^{2}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}}$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + 0)}^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x + 0)}^{2}}}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x + 0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x + 0) (1 - (x + 0))}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Additionnez $1 + x$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - (x + 0))}}$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Étape 4.3.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$