Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2 x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2 x})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = 2 x$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x \cdot x^{2 x - 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $x^{2 x - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Déplacez $x^{2 x - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x)) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.2.2

Multipliez $x^{2 x - 1}$ par $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x^{1})) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x - 1 + 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.2.3

Associez les termes opposés dans $2 x - 1 + 1$ .

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Étape 3.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x + 0}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x' (2 x^{2 x}) + 2 \frac{d}{d y} [x] (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' (2 x^{2 x}) + 2 x' (x^{2 x} \ln (x))$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$ .

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$

Étape 5.2

Simplifiez $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x' = 1$

Étape 5.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x'$ .

$2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Étape 5.3

Factorisez $x' x^{2 x}$ à partir de $2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x' x^{2 x}$ à partir de $2 x' x^{2 x}$ .

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $x' x^{2 x}$ à partir de $x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $x' x^{2 x}$ à partir de $x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

$x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ par $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ par $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2 x}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2 + \ln (x^{2})$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$