Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}}) d x = 10 \sqrt{x} - 2 x \sqrt{5} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u = \sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.2.2

Comme $\sqrt{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sqrt{5}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.1.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.1.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.1.4

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int - 2 u^{2} d u$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{3} + C$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} u^{3} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$