Calcul infinitésimal Exemples

$y'''' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Étape 1

Déterminez $y'$ .

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Étape 1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.3.3

Différenciez.

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Étape 2

Déterminez $y''$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée.

$y'' = \frac{d}{d x} [- 6 e^{- 2 x}]$

Étape 2.2

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$y'' = - 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$y'' = - 6 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'' = - 6 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$y'' = - 6 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

$y'' = - 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 6 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$y'' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = 12 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 2.8

Multipliez $12$ par $1$ .

$y'' = 12 e^{- 2 x}$

Étape 3

Déterminez $y'''$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée.

$y''' = \frac{d}{d x} [12 e^{- 2 x}]$

Étape 3.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$y''' = 12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$y''' = 12 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y''' = 12 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$y''' = 12 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.4

Supprimez les parenthèses.

$y''' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 12 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 3.8

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$y''' = - 24 e^{- 2 x}$

Étape 4

Déterminez $y''''$ .

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Étape 4.1

Définissez la dérivée.

$y'''' = \frac{d}{d x} [- 24 e^{- 2 x}]$

Étape 4.2

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$y'''' = - 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$y'''' = - 24 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'''' = - 24 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$y'''' = - 24 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 4.4

Supprimez les parenthèses.

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 4.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Multipliez $- 2$ par $- 24$ .

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 4.8

Multipliez $48$ par $1$ .

$y'''' = 48 e^{- 2 x}$

Étape 5

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$48 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$48 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Étape 6.2

Additionnez $48 e^{- 2 x}$ et $6 e^{- 2 x}$ .

$54 e^{- 2 x} = 0$

Étape 7

La solution donnée ne respecte pas l’équation différentielle donnée.

$y = 3 e^{- 2 x}$ n’est pas une solution à $y'''' + 2 y = 0$