Calcul infinitésimal Exemples

$x + y = e^{2 x + 2 y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x + y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x + 2 y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x + 2 y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 2 y$ .

$e^{2 x + 2 y} \frac{d}{d x} [2 x + 2 y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$e^{2 x + 2 y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x + 2 y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x + 2 y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x + 2 y} (2 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Étape 3.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{2 x + 2 y} (2 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{2 x + 2 y} (2 + 2 y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 + y' = e^{2 x + 2 y} (2 + 2 y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $e^{2 x + 2 y} (2 + 2 y')$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$1 + y' = 0 + 0 + e^{2 x + 2 y} (2 + 2 y')$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$1 + y' = e^{2 x + 2 y} (2 + 2 y')$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + y' = e^{2 x + 2 y} \cdot 2 + e^{2 x + 2 y} (2 y')$

Étape 5.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x + 2 y}$ .

$1 + y' = 2 \cdot e^{2 x + 2 y} + e^{2 x + 2 y} (2 y')$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + y' = 2 \cdot e^{2 x + 2 y} + 2 e^{2 x + 2 y} y'$

Étape 5.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{2 x + 2 y} + 2 e^{2 x + 2 y} y'$ .

$1 + y' = 2 e^{2 x + 2 y} + 2 y' e^{2 x + 2 y}$

Étape 5.2

Soustrayez $2 y' e^{2 x + 2 y}$ des deux côtés de l’équation.

$1 + y' - 2 y' e^{2 x + 2 y} = 2 e^{2 x + 2 y}$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 2 y' e^{2 x + 2 y} = 2 e^{2 x + 2 y} - 1$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 2 y' e^{2 x + 2 y}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y' e^{2 x + 2 y} = 2 e^{2 x + 2 y} - 1$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y' e^{2 x + 2 y}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 e^{2 x + 2 y}) = 2 e^{2 x + 2 y} - 1$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 2 e^{2 x + 2 y})$ .

$y' (1 - 2 e^{2 x + 2 y}) = 2 e^{2 x + 2 y} - 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 2 e^{2 x + 2 y}) = 2 e^{2 x + 2 y} - 1$ par $1 - 2 e^{2 x + 2 y}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 2 e^{2 x + 2 y}) = 2 e^{2 x + 2 y} - 1$ par $1 - 2 e^{2 x + 2 y}$ .

$\frac{y' (1 - 2 e^{2 x + 2 y})}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}} = \frac{2 e^{2 x + 2 y}}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}} + \frac{- 1}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 e^{2 x + 2 y}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - 2 e^{2 x + 2 y})}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}} = \frac{2 e^{2 x + 2 y}}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}} + \frac{- 1}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x + 2 y}}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}} + \frac{- 1}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 e^{2 x + 2 y} - 1}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.3.2

Annulez le facteur commun à $2 e^{2 x + 2 y} - 1$ et $1 - 2 e^{2 x + 2 y}$ .

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Étape 5.5.3.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 e^{2 x + 2 y}$ .

$y' = \frac{- (- 2 e^{2 x + 2 y}) - 1}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.3.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (- 2 e^{2 x + 2 y}) - 1 (1)}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 e^{2 x + 2 y}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (- 2 e^{2 x + 2 y} + 1)}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.3.2.4

Réécrivez $- (- 2 e^{2 x + 2 y} + 1)$ comme $- 1 (- 2 e^{2 x + 2 y} + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 2 e^{2 x + 2 y} + 1)}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.3.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' = \frac{- 1 (1 - 2 e^{2 x + 2 y})}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.3.2.6

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (1 - 2 e^{2 x + 2 y})}{1 - 2 e^{2 x + 2 y}}$

Étape 5.5.3.2.7

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y' = - 1$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1$