Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 t$

Étape 2.3

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{u}]_{2 t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $e^{u}$ sur $0$ et sur $2 t$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

Étape 7.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Évaluez la limite.

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Étape 8.1.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

Étape 8.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Étape 8.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Étape 8.2

Comme l’exposant $2 t$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{2 t}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Soustrayez $0$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$