Calcul infinitésimal Exemples

$\int (- \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int - \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x)$

Étape 4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Étape 5

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Simplifiez $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.6

Remettez dans l’ordre $3$ et $\cos^{2} (t)$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cos (t) d t$

Étape 6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) (\sqrt{3})} \cos (t) d t$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3}} d t$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Réécrivez $- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$ comme $- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$ .

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $t$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3} t}{3} + C$

Étape 8.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{\sqrt{3} t}{3}$ .

$\frac{- 4 (\sqrt{3} t)}{3} + C$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \sqrt{3} t}{3} + C$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$- \frac{4 \sqrt{3} \arcsin (x)}{3} + C$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (x) + C$