Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 d y}{3 d x} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$\frac{2}{3} d y = {(x - 2)}^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2}{3} d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int u^{2} d u$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y)$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $y$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $K$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + K \cdot 3)$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + 3 K)$

Étape 3.2.2.1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} + \frac{1}{2} (3 K)$

Étape 3.2.2.1.5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{1}{2} (3 K)$

Étape 3.2.2.1.6

Multipliez $\frac{1}{2} (3 K)$ .

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Étape 3.2.2.1.6.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} K$

Étape 3.2.2.1.6.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $K$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Étape 3.2.2.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{{(x - 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Étape 3.3.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Étape 3.3.2.4

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3 K}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + K}{2}$