Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{r \to 4} (\frac{2}{r} + \frac{1}{2}) (r^{2} - \frac{4}{r})$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $r$ approche de $4$ .

$lim_{r \to 4} \frac{2}{r} + \frac{1}{2} \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $r$ approche de $4$ .

$(lim_{r \to 4} \frac{2}{r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$(2 lim_{r \to 4} \frac{1}{r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $r$ approche de $4$ .

$(2 \frac{lim_{r \to 4} 1}{lim_{r \to 4} r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $r$ approche de $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Étape 6

Évaluez la limite de $\frac{1}{2}$ qui est constante lorsque $r$ approche de $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $r$ approche de $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot (lim_{r \to 4} r^{2} - lim_{r \to 4} \frac{4}{r})$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $r^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - lim_{r \to 4} \frac{4}{r})$

Étape 9

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 lim_{r \to 4} \frac{1}{r})$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $r$ approche de $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{lim_{r \to 4} 1}{lim_{r \to 4} r})$

Étape 11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $r$ approche de $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $r$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $r$ en insérant $4$ pour $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $r$ en insérant $4$ pour $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $r$ en insérant $4$ pour $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$(2 \frac{1}{2 (2)} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Étape 13.1.2

Annulez le facteur commun.

$(2 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Étape 13.1.3

Réécrivez l’expression.

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Étape 13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Étape 13.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Étape 13.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Étape 13.5

Multipliez $4^{2} - 4 (\frac{1}{4})$ par $1$ .

$4^{2} - 4 (\frac{1}{4})$

Étape 13.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.6.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 - 4 (\frac{1}{4})$

Étape 13.6.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$16 + 4 (- 1) \frac{1}{4}$

Étape 13.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4}$

Étape 13.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 - 1$

Étape 13.7

Soustrayez $1$ de $16$ .

$15$