Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 4}^{2} [f (x) + 2 x + 3] d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 4}^{2} f (x) + 2 x + 3 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 4}^{2} f (x) d x + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} 3 d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x) x]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} 3 d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x) x]_{- 4}^{2} + 2 \int_{- 4}^{2} x d x + \int_{- 4}^{2} 3 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x) x]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} 3 d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x) x]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} 3 d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$f (x) x]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + 3 x]_{- 4}^{2}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $f (x) x]_{- 4}^{2}$ et $3 x]_{- 4}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + f (x) x + 3 x]_{- 4}^{2}$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + f (x) x + 3 x]_{- 4}^{2}$

Étape 8.2.2

Évaluez $f (x) x + 3 x$ sur $2$ et sur $- 4$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$2 (2 - \frac{16}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.4

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (2 - \frac{8}{1}) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.4.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$2 (2 - 1 \cdot 8) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$2 (2 - 8) + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.6

Soustrayez $8$ de $2$ .

$2 \cdot - 6 + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.7

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- 12 + (f (x) \cdot 2 + 3 \cdot 2) - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $f (x)$ .

$- 12 + 2 \cdot f (x) + 3 \cdot 2 - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 12 + 2 f (x) + 6 - (f (x) \cdot - 4 + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.10

Déplacez $- 4$ à gauche de $f (x)$ .

$- 12 + 2 f (x) + 6 - (- 4 \cdot f (x) + 3 \cdot - 4)$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$- 12 + 2 f (x) + 6 - (- 4 f (x) - 12)$

Étape 8.2.3.12

Additionnez $- 12$ et $6$ .

$2 f (x) - 6 - (- 4 f (x) - 12)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 f (x) - 6 - (- 4 f (x)) - - 12$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$2 f (x) - 6 + 4 f (x) - - 12$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$2 f (x) - 6 + 4 f (x) + 12$

Étape 9.2

Additionnez $2 f (x)$ et $4 f (x)$ .

$6 f (x) - 6 + 12$

Étape 9.3

Additionnez $- 6$ et $12$ .

$6 f (x) + 6$

Étape 10