Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{x^{2}}{2 x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x - 1) (2 x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.3.2

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.3.3

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.3.4

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1.2.11.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.11.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.11.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.11.2.3

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} - 2 x^{3} + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.11.3

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.11.4

Additionnez $0$ et $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.11.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.2.12

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}$

Étape 2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.4.2

Déplacez $x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.8.2

Multipliez.

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Étape 2.1.3.8.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.8.2.2

Simplifiez

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Étape 2.1.3.8.2.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.8.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}$

Étape 2.1.3.8.3

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}$

Étape 2.1.3.8.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}$

Étape 2.1.3.9

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.1.3.10

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} (2 x - 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.9

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \cdot 2 + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.10

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 \cdot x^{2} + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.4.11

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x \cdot x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x)) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x^{1})) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{1 + 1}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{2}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.14

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.16

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.17

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 6 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.18

Soustrayez $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.19

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6.20

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x + 1$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Étape 2.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Étape 2.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Étape 2.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Étape 2.3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Étape 2.3.12

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Étape 2.3.13

Déplacez $2$ à gauche de $2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Étape 2.3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.15

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.17

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.18

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}$

Étape 2.3.19

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}$

Étape 2.3.20

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}$

Étape 2.3.21

Simplifiez

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Étape 2.3.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}$

Étape 2.3.21.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.21.3

Associez des termes.

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Étape 2.3.21.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.21.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.21.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.21.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x - 2}$

Étape 2.3.21.3.5

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 2 - 2}$

Étape 2.3.21.3.6

Soustrayez $2$ de $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 0}$

Étape 2.3.21.3.7

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x}$

Étape 2.4

Réduisez.

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{8 x}$

Étape 2.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{4 (2 x)}$

Étape 2.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 (2 x)}$

Étape 2.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

Étape 2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez la limite de $\frac{1}{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$