Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = e^{x^{2} - 4}$ on $- 2$ , $2$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$e^{x^{2} - 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$e^{x^{2} - 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x + 0)$

Étape 1.1.1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x)$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2} - 4} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 4} x$

Étape 1.1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2} - 4} x$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 4}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $2 x e^{x^{2} - 4}$ .

$2 x e^{x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x e^{x^{2} - 4} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x e^{x^{2} - 4} = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{x^{2} - 4} = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $e^{x^{2} - 4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $e^{x^{2} - 4}$ égal à $0$ .

$e^{x^{2} - 4} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $e^{x^{2} - 4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x^{2} - 4}) = \ln (0)$

Étape 1.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x^{2} - 4} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x e^{x^{2} - 4} = 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $e^{x^{2} - 4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$e^{{(0)}^{2} - 4}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{0 - 4}$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e^{- 4}$

Étape 1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, \frac{1}{e^{4}})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$e^{{(- 2)}^{2} - 4}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e^{4 - 4}$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$e^{0}$

Étape 2.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$e^{{(2)}^{2} - 4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e^{4 - 4}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$e^{0}$

Étape 2.2.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, 1), (2, 1)$

Étape 3

Comparez les valeurs $h (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $h (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $h (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 2, 1), (2, 1)$

Minimum absolu : $(0, \frac{1}{e^{4}})$

Étape 4