Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + m x + 1}{x + m}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + m x + 1$ et $g (x) = x + m$ .

$\frac{(x + m) \frac{d}{d x} [x^{2} + m x + 1] - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + m x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [m x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + m) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [m x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + m) (2 x + \frac{d}{d x} [m x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $m$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $m x$ par rapport à $x$ est $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $m$ par $1$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m + 0) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 x + m$ et $0$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + m$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [m]$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [m])}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [m])}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $m$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $m$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) (1 + 0)}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1)}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + m) (2 x + m) - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x + m) (2 x + m)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x + m) + m (2 x + m) - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x m + m (2 x + m) - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x m + m (2 x) + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x m + m (2 x) + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x m + m (2 x) + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x m + m (2 x) + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} + x m + 2 m x + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $m$ par $m$ .

$\frac{2 x^{2} + x m + 2 m x + m^{2} - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Additionnez $x m$ et $2 m x$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $m$ .

$\frac{2 x^{2} + m x + 2 m x + m^{2} - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2.2

Additionnez $m x$ et $2 m x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 m x + m^{2} - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 m x + m^{2} - x^{2} - m x - 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 3 m x + m^{2} - m x - 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $m x$ de $3 m x$ .

$\frac{x^{2} + m^{2} + 2 m x - 1}{{(x + m)}^{2}}$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{m^{2} + x^{2} + 2 m x - 1}{{(m + x)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.1.1

Réorganisez les termes.

$\frac{m^{2} + 2 m x + x^{2} - 1}{{(m + x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 m x = 2 \cdot m \cdot x$

Étape 3.4.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{m^{2} + 2 \cdot m \cdot x + x^{2} - 1}{{(m + x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = m$ et $b = x$ .

$\frac{{(m + x)}^{2} - 1}{{(m + x)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(m + x)}^{2} - 1^{2}}{{(m + x)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = m + x$ et $b = 1$ .

$\frac{(m + x + 1) (m + x - 1)}{{(m + x)}^{2}}$